水の移し方

３Lの水をくんで、５Lのボトルに移す。

その後５Lのボトルをいっぱいにしても捨てなければいけないので、 常に３Lの水をくんで５Lの水に移し、いっぱいになったら５Lの水を空にして、と片方向でのやりとりに限定できる。

計ることのできる水

そうすると、計ることのできる水は以下のようになる。

３，6,9,12,15,18,21,24,27,30

ただし5Lの水がいっぱいになったら捨てていくから、計ることのできる水は以下になる。

3,1,4,2,0,3,1,4,2,0,3

3,1,4,2,0のループが続き、4L以下の水であればすべて計れることがわかる。

4Lと6Lのボトルの場合

次に、4Lと６Lのボトルで考える。 くめる水は以下のようになり、

4,8,12,16,20,24

6L以上は捨てられていくから、

4,2,0,4,2,0

4,2,0が続くようになる。

一般化

ここで、問題を一般化してみる。

mLのボトルとnLのボトルがあり（m<n）、

常にmLの水をくんで、nLの水に移し、いっぱいになったらnLの水を空になるので、

計ることのできる水xは以下のようになる。

x = a*m-b*n

ここでaとbの最大公約数をkとすると、 a=a1*k, b=b1*kと置き換えることができ、

x = a1*k*m - b1*k*n
x = k(a1*k - b1*n)

よって、m<nのとき、n以下でかつmとnの最小公倍数の倍数の数だけ水をはかることができることがわかる。

上記式より、3Lと5Lのとき、0,1,2,3,4Lの水がはかれ、 4Lと6Lのとき、0,2,4Lの水がはかることができる。